浅谈异面直线的教学体会-人工改重案例

发布日期:2022-04-29 17:29:25


  教学异面直线后,我觉得学生对异面直线的概念及其相关概念理解的不够透彻,并且利用异面直线的有关知识解决问题不够熟练,为此我从以下两大方面谈自己的教学体会。


  “异面直线”是学生新接触的新名词,有很多学生只从异面直线定义的字面上去理解异面直线,即误认为“不在同一平面内的两条直线叫做异面直线”,应理解成“不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线”,另外异面直线的有关概念也很重要,学生往往不会应用,为此我就自己的教学体会同各位同仁交流一下:


  一、正确理解异面直线的概念


  根据异面直线的特点,教学时教师要演示模型或身边实物或用教室的墙角线来演示,这样既直观,又便于学生理解,我从以下三点进行概念的教学。


  1、不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线,这里关键是“不同在任何一个平面内”,这与“不在同一平面内”及“分别在不同平面内”是不同的,“不同在任何一个平面内”的含义是“不可能在同一平面内”,即空间不存在一个平面使两条异面直线都在这个平面内,或者说“经过这两条异面直线不能确定一个平面”,而其它两种说法都有可能在同一平面内,例如图1中,经过都能确定一个平面,因为:经过两条平行线或相交的直线有且只有一个平面。


  2、异面直线的存在对空间图形的影响


  在空间存在着既不相交也不平行的直线,即是异面直线,这是立体几何与平面几何中,两条直线位置关系的一个十分重要的区别,由于空间有异面直线的存在,使得在平面几何中有关两条直线位置关系的很多定理在立体几何中不成立,例如,在平面几何中,垂直于同一直线的两条直线平行,而在立体几何中这个命题不正确,空间垂直于同一条直线的两条直线可能平行,也可能相交,还可能是异面直线,类似的问题很多,学习时可以自己提出问题,经过分析判断导出正确结论,因此一定要注意,不要把平面几何中学过的定理、性质,生搬硬套在立体几何中应用。


  3、如何证明两条直线是异面直线


  在教学中,证明两条直线是异面直线这个问题,是教学的难点,也是学生很难接受的问题,那么证明两条直线是异面直线通常有以下两种方法:


  (1)用判定定理证明:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线,如图2


  (2)用反证法证


  例1.已知是异面直线,,且不相交,求证:是异面直线。


  证明:假设不是异面直线,则相交或平行,而不相交(已知),


  所以必平行。而,所以,但是异面直线,矛盾!所以是异面直线。


  4、自编小题,可加强对空间直线三种位置关系的理解,特别是对异面直线概念的理解,提高空间想象能力。


  学好这一部分的关键是多思考,在脑子里要有图形,问题都要从空间存在三种位置关系来考虑,这不仅要认真看书,做好课本上的题目,还要自编一些小题,训练自己的思维。


  二、掌握与异面直线有关的概念


  异面直线在立体几何中是非常重要的内容,在实际生活中应用也非常广泛,因此有必要深入研究异面直线的有关问题,而在两条异面直线中存在的问题有:两条异面直线所成的角和异面直线间的距离问题,我从以下三方面讨论研究:


  1、两条异面直线所成的角


  (1)对概念的理解


  根据课本定义,直线是异面直线,经过空间任意一点,分别作直线,我们把和所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角。根据概念,我们对异面直线所成的角要从以下四个方面理解:是用来描述空间两条异面直线相互位置关系的。是把异面直线用平行关系转化为相交直线,用相交直线所成的锐角(或直角)来定义异面直线所成的角。两条异面直线所成角的范围是。异面直线所成的角的大小是唯一确定的,因为不论点选在何处,所做与直线平行的直线都互相平行,所做与直线平行的直线也互相平行,又根据等角定理,与所成的锐角(或直角)相等,与任意一点的选取无关,因此求角时,若将这一点选在两条异面直线的一条上,则使问题更简单。


  (2)如何求异面直线所成的角


  求两条异面直线所成的角时,关键是把异面直线用平行关系转化为相交直线,这里一要选好点,二要找好平行关系,且这两者,又是互相关联的,点一般是图形中已知点,且在两异面直线的一条上,这样只须再作一条平行线,找平行线中已知存在的与异面直线中的一条平行的直线是很重要的,求角的大小一般是用解三角形的方法。


  2、两条异面直线互相垂直


  如果两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直,在空间引入两条异面直线互相垂直的概念后,若在空间有两条直线互相垂直,则这两条直线可能相交、也可能不相交(即是异面),因此,以后再谈两条直线互相垂直,应包括相交垂直和异面垂直两种情况,它们的共同点是所成的角是直角,学习时应当联想到平面几何中有两直线垂直的定理在立体几何中是否还适用。


  3、两条异面直线的公垂线和距离


  (1)公垂线:由概念可知,公垂线是一条直线,并且它与两条异面直线都垂直且都相交,要强调“垂直”和“相交”两点,特别是相交学生容易忽视,一定要反复强调,指出和两条异面直线都垂直的直线有无数条,有和其中一条相交的,也有和两条都不相交的,而和这两条异面直线都垂直相交的直线有唯一的一条,这就是两条异面直线的公垂线,教学时,让学生在教室里找出两条异面直线和它们的公垂线的实例,以加深对公垂线概念的理解。


  (2)距离:两条异面直线的公垂线在这两条异面直线之间的线段的长度叫做两条异面直线的距离。


  (3)公垂线和距离的区别和联系


  公垂线和距离这两个概念有联系又有区别,因为公垂线是和两异面直线都垂直相交的直线,所以公垂线和两条异面直线都有交点,这两交点间的部分就是公垂线在两异面直线间的线段,这个线段的长度就是两异面直线的距离,因此两异面直线的距离是依赖于两异面直线的公垂线定义的,这就是它们的联系,区别是公垂线是一条直线,距离是一个线段的长度。


  (4)如何求两条异面直线间的距离


  求两条异面直线间的距离有多种方法,要用到三垂线定理,线面平行、垂直,面面平行、垂直等知识。一般来说有以下两种方法:


  方法1.找公垂线根据两条异面直线距离的概念,先找出它们的公垂线,如图3中、、,是异面直线,线段MN的长,则是间的距离


  方法2.不找公垂线


  将求异面直线的距离转化为求平行的直线和平面的距离或两平行平面间的距离,如图4中的,,是异面直线,线段MN的长则是间的距离且总之,异面直线的概念及其有关概念是几何学中的重点内容,它在实际生活中的应用广泛,因此教学时应给予重视

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